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Integración por partes

La técnica de la integración por parte es bastante útil para encontrar integrales complejas llevándolas a integrales más sencillas. Esta técnica se basa en la derivada de un producto. En efecto, debemos recordar que

             (1)

Ahora bien, si integramos la igualdad en (1), respecto de x nos queda

De manera que obtenemos la igualdad

         (2)

Supongamos ahora que se quiere integrar una expresión de la forma

donde es relativamente sencillo encontrar la "anti-derivada" v(x). Si es así, observemos que de la expresión (2) obtenemos

       (3)

donde se supone que la integral de la derecha de la ecuación (3) es sencilla de calcular, o su resultado se obtiene mediante un procedimiento establecido. A menudo, con cierto abuso de notación, la expresión (3) con el ánimo de memorizar la fórmula, se escribe como

Veamos un ejemplo. Queremos calcular la integral

En este caso, la derivada de x es 1 y una primitiva para e2x es fácil de calcular, de modo que hacemos

Entonces aplicando la fórmula (3) obtenemos

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