Introducción al álgebra para los estudiantes de primero medio.

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1. Las operaciones simples de la matemática.

La operación matemática 7 + 2, que es la suma,  es de fácil comprensión, y aún más fácil es su ejecución. Sin error exclamamos ¡ 9 !. A esta expresión, "siete más dos", asociamos la idea natural que teniendo siete objetos le agregamos dos objetos, para obtener un total de nueve objetos.

La operación matemática 9 - 4, que es la resta, a veces también es de fácil comprensión. En este ejemplo, la podemos interpretar como: tengo nueve objetos y entrego (o me quitan) cuatro objetos, entonces me quedo con cinco objetos. Y rápidamente decimos "nueve menos cuatro es igual a cinco".

Lo que queremos decir con esto, que las operaciones matemáticas, por lo general, tienen una interpretación de situaciones físicas en el mundo real. Por ejemplo, la operación 6 + 2, puede significar que tengo seis CD de música rock, y me han regalado 2 CD de música rock, lo que en total hacen en mi poder 8 CD de música rock.

De igual manera, la operación 7 - 5, puede significar que tengo 7 billetes de mil pesos, al inicio de la semana, y durante el transcurso de ella, he gastado 5 billetes de mil pesos, por lo que me queda en mi poder solamente 2 billetes de mil pesos.

Entregue una interpretación  lo más real posible (y redáctelas) para las siguientes operaciones matemáticas:

a) 5 - 4            b) 10 + 1            c) 12 - 6            e) 365 - 174            f) 13 + 8


Lo que puede resultar complicado, tanto del punto de vista del cálculo matemático, como la interpretación en la vida real es la siguiente operación matemática: 5 - 9. Cinco menos nueve. Ya no es tan evidente que el resultado de esta operación sea - 4 (y se lee menos cuatro). Sin embargo, como vamos a ver ahora, también es una operación que es normal en nuestra vida diaria.

Suponga usted que tiene 5 billetes de mil pesos, y usted debe al almacén de la esquina  9 billetes de mil pesos (por lo menos es lo que me ocurre con mi casera). Si decidimos pagarle, entonces le quedará debiendo 4 billetes de mil pesos, es decir le quedará en su cuenta personal una deuda (con el almacén) de 4 mil pesos. Y eso se pone en términos matemáticos como 5 - 9 = - 4. Digamos que, para este ejemplo, la cantidad negativa representa una deuda, o algo que falta y que hay que considerarla a futuro para llevar bien las cuentas. ¿Qué otra interpretación puede tener la expresión matemática 5 - 9?

Supongamos que tenemos 9 trabajadores que necesitan, obviamente, nueve puestos de trabajos, y sin embargo la municipalidad solamente ofrece 5 puestos de trabajo. Es decir faltan 9 puestos de trabajo (- 9) y la municipalidad ofrece 5 puestos de trabajo (+5), por lo tanto el problema se reduce a que ahora faltan  4 puestos de trabajo ( - 4 ).

Encuentre una interpretación, lo más real posible, a las siguientes diferencias

a) 10 - 21            b) 9 - 11            c) 3 - 30            d) 5 - 7            e) 15 - 15

2. Un nuevo lenguaje

La matemática, entonces, sirve para la vida real. Lo que sucede a veces, que no puede estar estudiando caso a caso, las diferentes problemáticas que se pueden resolver con las operaciones matemáticas. Es entonces que inventa un nuevo lenguaje llamado Álgebra. Esta álgebra consiste en asociar a los números las unidades que representa. Por ejemplo, si son los billetes de mil pesos que podamos tener o no tener, que podamos sumar o restar entre cantidades de billetes de mil pesos, podemos abreviar, por ejemplo, la expresión "tengo siete billetes de mil pesos" por 7m, donde la letra m representa a "un billete de mil pesos". De manera que la expresión algebraica

7m + 5m

significa, tener 12m (doce billetes de mil pesos).

De igual manera, es posible que la letra m represente la expresión "un CD de rock", de manera que

7m + 5m

está representando que tengo 12m (doce CD de música rock)

Este nuevo lenguaje nos permite operar matemáticamente con distintas unidades. Por ejemplo, que interpretación le podríamos dar a la expresión

7a + 5b + 2a - 3b

En primer lugar, que tenemos "unidades distintas" de cosas, que hay objetos de la clase "a", y objetos de la clase "b", donde por ejemplo "a" represente "un disco de CD de música rock" y "b" represente "un billete de mil pesos", de manera que la expresión

7a + 5b + 2a - 3b

puede significar que, en total tengo 9a (nueve discos CD de música rock) y 2b (dos billetes de mil pesos). Observe que cada una de las operaciones efectuadas, la suma de los términos en "a", y la suma de los términos en "b", tienen su respectiva interpretación.

Sumar o restar los términos que tienen la misma letra (la misma unidad diremos nosotros) es lo que los profesores de matemáticas llamamos "reducir los términos semejantes".

Entonces a veces, uno olvida lo que cada letra representa, y nos ponemos a operar con los términos que son semejantes.

Veamos un ejemplo más complicado, si la unidad es m, por ejemplo m representa un billete de mil pesos o vulgarmente "una luca", como se dice en términos chilenos. ¿Cómo puede usted expresar "media luca", o quinientos pesos?. Es claro que la media luca es la mitad de una luca, de manera que en términos de la unidad m, la "media luca" se escribe como

0.5m

o que es lo mismo

De manera que podemos trabajar con expresiones algebraicas del tipo

0.7a + 3b - 0.4a + 0.5b

y cuyo resultado es

0.3a + 3.5b

esto es que los términos semejantes se suman o restan de la manera habitual. Un procedimiento ordenado sería

0.7a + 3b - 0.4a + 0.5b = 0.7a - 0.4a + 3b + 0.5b = 0.3a + 3.5b


Ejercicio: Suponga que usted tiene 2 billetes de mil pesos (2 "lucas"), y tiene cinco monedas de cien pesos (cinco "gambas"). ¿Cómo puede usted expresar la suma total de estas cantidades de dinero mediante una expresión algebraica?

Respuesta: Supongamos que la letra "m" representa un billete de mil pesos (una "luca"), luego si tengo dos billetes de luca, lo representamos por 2m. Por otro lado, cinco monedas de cienpesos (cinco "gambas") equivale a "media luca", esto es 0.5m. Por lo tanto, la cantidad de dinero total es: 2m + 0.5m.

Ahora si consideramos a "m" como un billete de 1000 pesos, y a "c" como una moneda de cien pesos, lo anterior también se puede expresar como

2m + 5c

 


3. Expresiones algebraicas complicadas.

A menudo aparecerán expresiones del tipo

Se recomienda agrupar los términos semejantes, esto es

y luego desarrollar las operaciones matemáticas sobre los coeficientes numéricos de las letras (o unidades) que son iguales. En nuestro caso para el término en "a" es

Observe con cuidado la "delicada operación" que se realizó para sumar estas fracciones.

Para el término en "b" es

De manera que el resultado final es


Realice los siguientes ejercicios:


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